[原创] 漫步《具体数学》

本帖最后由 showcraft 于 2013-4-1 11:55 编辑

漫步《具体数学》之调和级数（1）

标题取为漫步《具体数学》，显示本系列文感想大多基于《具体数学》，这本我买了三年，读了也不到三章的好书。听闻图灵即将出版第二版的中文翻译版，这也是一件快事，毕竟庄心谷的第一版翻译版距今相隔年久。不过对于英文尚可的读者，我的建议，包括我自己的选择还是优先去读英文版，原因无需赘言，呵呵。我手头的版本是机械工业出版社的第二版英文版，提供一个ishare上的下载地址，以下也以该版本页码为准：
http://ishare.iask.sina.com.cn/f/22473648.html

话说回来，就此处所涉之调和级数而言，我想大多数读者已经早在微积分，数学分析等学科中遇到过了，我也并不例外。在无穷级数中，p级数的敛散分水岭便是p=1时的调和级数，众所周知，p>1时p级数收敛，p<=1时p级数发散。当时我就挺好奇，为什么这个区分收敛发散的pivot恰巧在p=1呢？当然事后，从离散或者连续数学的角度我都明白了个中原由，通过阅读William Dunham的《天才引导的历程》第八章伯努利兄弟与调和级数，也渐渐了解领会到了调和级数的神奇历史与独特魅力，也曾于万籁俱寂，月下独坐之际，感慨于数百年前奥利司姆、曼戈里、伯努利兄弟等先贤证明调和级数发散性的构思精巧，不禁扪心自问：站在21世纪的我自己又能想到几种不同的方法来证明调和级数的发散性呢？
巧合的是，带着这些感想我又在翻阅心仪已久的Knuth大神的Concrete Mathematics与TAOCP遇到了相关章节（前者简称为CM，在2.1节第一次提到了harmonic series，在6.3、6.4两节有专门论述；后者就我目前阅读所及，有1.2.7一节harmonic numbers论述），可以说对于调和级数的理解又加深了一层。走笔至此，我想说我原来是打算对调和级数作一个在我能力范围内的比较系统的梳理，后来我看了一下wiki上的调和级数页面：
http://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%B0%83%E5%92%8C%E7%BA%A7%E6%95%B0

发现说的已经相当完美了，况且我本懒人，使用mathtype等软件勾画公式图表也非我所长，因而我还是选择参照《具体数学》、wiki页面以及其他相关材料，用相对纯文字流的方式来阐述下我对调和级数的理解吧。
从wiki页面来开，上手我们就能发现，区区调和级数涉及范围居然相当宽广，比如音乐（泛音），建筑（巴洛克时期），由于笔者对于音乐与建筑了解相当有限，就不过于展开了。关于泛音，Knuth在P29页这样提到“The letter H stands for ‘harmonic’；Hn is a harmonic number, so called because the kth harmonic produced by a violin string is the fundamental tone produced by a string that is 1/k times as long.”简言之，长度为1单位的弦长所发出的音的第k阶泛音为1/k单位长的弦长所发出的音。Yale的open course，listening to music中第二集《介绍乐器和音乐风格》有涉及泛音的内容，可参看如下：
http://v.163.com/movie/2008/7/4/E/M6HUGST1G_M6HUIK94E.html

在视频大约18分的时候，Eva演示了圆号的泛音系列，令我忍俊不禁的是在21分不到的时候她下台前关于泛音乐器的吐槽“It’s a mathematical thing,too.It’s all math.”洒脱中透着一丝不易察觉的幽怨？呵呵。这里还有一篇文章不错，《从泛音的发现到傅立叶级数理论的建立》：
http://www.doc88.com/p-334742609629.html

在强大的伯努利家族之后又提到了另一位大牛傅里叶，看完给我的感觉是，万物皆为叠加？呵呵，也许某种角度看，未尝不是如此。关于建筑所知甚少，巴洛克建筑与调和级数之间的关系，确实暂时还无从谈起，以后如果看到相关材料有所得再来补上吧，不过话说接下来一个小游戏倒某种程度上和建筑有关。
Wiki页面的入门，举了两个大名鼎鼎的例子，蠕虫爬橡皮筋与多米诺骨牌堆叠。之所以说大名鼎鼎，是因为Knuth在CM的6.3节Harmonic Numbers中也提到了这两个例子，确实很漂亮的例子。具体内容我就不展开了，wiki的介绍已经相当详实。蠕虫的例子让我想到了希腊神话中希绪福斯的石头：希绪弗斯必须把一个巨大的圆石推到山顶去，而每当石头即将到达山顶时，巨石就会自动滚落下来，坠而复推，推而复坠，永无尽期。假设众神网开一面，石头每次自动滚落下来，但不滚回原地，而是按照单位长度的调和级数序列，即第一次滚回距离起点1单位长，第二次滚回距第一次起点的1/2单位长，第三次滚回距第二次起点的1/3单位长，依次类推，那么我们苦逼的希绪福斯老兄还是能在宇宙永生的某个时间点将石头搬到山顶的。第二个例子由R.T.Sharp在1954年提出，即“Overhanging dominoes”。我觉的这个问题更贴近现实，相比蠕虫问题，其内在的调和级数关系更为隐蔽，我在想，不知道Sharp大牛是否从古巴比伦国王尼布甲尼撒的空中花园（hanging garden）得到灵感而提出如此精致的问题。另外我还想到了那个著名坑爹的国际象棋摆稻米的典故，区别在于它是公比为2的等比级数，显然发散且发散的速度较快，而调和级数的发散速度为对数函数，比前者要慢许多。关于第二个问题的视频，可以参看mit的open course，单变量微积分第34集的开头：
http://v.163.com/movie/2006/8/F/4/M6GLI5A07_M6GLMCDF4.html

事实上关于调和级数，篇幅与时间所限目前只是刚开了个头，即便关于调和级数所知所感微薄如我，亦绝无可能在一篇小文中毕其功于一役，更加数学化的探讨今天恕不展开了。这里显然不是此次漫步《具体数学》之旅探讨调和级数的收敛点，事实上我会在后续读书笔记中再作进一步发散，比如接下来打算类似Knuth在CM的2.5节General Methods中列出求平方和级数的7种方法，探讨证明调和级数发散的方法数目，理论上是远大于7种的，呵呵。
复活节快乐！Stay tuned！

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