《完美的证明》，作者：葛森（Masha Gessen）
出版社：Houghton Mifflin Harcourt，2009年，256頁
定價：26美金

數學鮮少受人關注，但二〇〇三年有人破解世紀難題「龐加萊猜想」（Poincaré conjecture）時倒著實上了新聞。當時俄國數學家佩雷爾曼（Grigory ‘Grisha’ Perelman）把他做出來的解答公佈在網路上，引起眾人注目。數學家研究之後發現解答是正確的，於是在二〇〇六年，國際數學聯合會決定授予他數學界的最高榮譽——費爾茲獎。沒想到這位得主竟然拒絕領獎，讓負責頒獎的西班牙國王卡洛斯在馬德里「等無人」。這下媒體更好奇了，這個長頭髮的「怪咖」竟敢放國王鴿子，完全符合大家心目中數學家我行我素的印象。在此同時謠言四起，是誰先證明龐加萊猜想，答案是不是抄的，眾說紛紜。(請參看《知識通訊評論》四十四期〈[url=http://highscope.ch.ntu.edu.tw/wordpress/?p=37798]佩雷爾曼、丘成桐、數學的沈靜和喧擾〉)

佩雷爾曼解題能力高超但性格古怪，《完美的證明》一書正好滿足人們對他的好奇心。科學作家葛森詳細調查了這位數學隱士的生平，訪問他的老師，和美國、俄國及以色列的多位同事和指導他數學的教師。她也和心理學家討論佩雷爾曼的舉動，覺得和亞斯伯格症候群（Asperger’s syndrome）有諸多相似之處。

佩雷爾曼出生於彼時還是列寧格勒的聖彼得堡。他生下來就是一位數學神童，十六歲就在一九八二年國際數學奧林匹亞競賽以滿分奪得金牌。他從列寧格勒國家大學和聖彼得堡的斯捷克洛夫數學研究所畢業後，在加州大學柏克萊分校做過博士後研究，之後有好幾年不知去向。他私下研究龐加萊猜想，別人都不知道。龐加萊猜想是關於四維球體的三維界限的拓樸學問題，非常有名。證明成功後他曾短暫出現在美國，旋風般四處旅行解釋他的研究，然後又消失無蹤，至今仍不知去向。

葛森在書中說道，在蘇聯讀數學有好有壞。好處是他們有數學俱樂部和數學競賽，可以支持像佩雷爾曼一般對數學有天份的年輕人，壞處是數學系瀰漫的反猶太主義，直到一九八〇年代後期改革新思潮興起後才逐漸好轉。要不是當年有好些教授的全力護航，神童如佩雷爾曼，恐怕也會因為他的猶太背景而進不了研究所。在莫斯科長大的葛森自稱有戒不掉的「數學癮」，由她來說蘇聯學術圈差別待遇的故事是當仁不讓，因為她的父母也是飽受欺凌的猶太工程師。

葛森

可惜這本書只有一點美中不足；葛森也聯絡不上佩雷爾曼本人。她說自己不會受限於非要本人敘事不可。不過，在沒有確切事實支持之下，葛森大膽揣測佩雷爾曼逃避領獎和公眾的原因，覺得佩雷爾曼了不起的成就可能使他變得看不起別人的研究。這個猜測全然是空穴來風。唯一知道佩雷爾曼在想什麼的是國際數學聯合會當時的主席包爾（John Ball），他曾親自到聖彼得堡試圖說服佩雷爾曼接受費爾茲獎。包爾只說過，佩雷爾曼似乎對某些數學家不道德的行為感到失望。葛森這種無憑無據的說法不但誤導讀者，也對佩雷爾曼極為不公。

龐加萊猜想一直都是數學領域中最有名的懸而未解的難題，直到二〇〇六年為止，猜想變成了理論。對佩雷爾曼來說，證明本身就是最好的回饋，額外的獎賞或認同都沒有必要。《完美的證明》告訴我們，貪心的恐怕是媒體和公眾。

雷爾曼、丘成桐、數學的沈靜和喧擾 知識通訊評論第44期

八月底，西班牙的馬德里聚集了平時少見的三千多個數學家，參加四年一度的國際數學家大會。國際數學家大會是數學界的盛事，這一次大會由於又碰上世紀數學難題之一的龐加萊猜想終獲解決，更是引起矚目。

佩雷爾曼。

國際數學家大會，除了一般學術議程，也要頒發一些獎項。其中之一是一九三六年創始的費爾茲獎章（Field Medal）。另外有一九八二年的列文尼納獎（Rolf Nevanlinna Prize），頒給資訊科學上的數學貢獻，今年的國際數學家大會再增加了一個高斯獎，表彰數學應用方面的傑出工作。

在三大獎項當中，費爾茲獎不但歷史最久，也最受到矚目，一般的說法是，費爾茲獎是數學的諾貝爾獎。一九三六年費爾茲獎頭一次頒獎，其後中斷了十多年，到一九五○年恢復，以後每四年頒發一次，到今年共有四十八位得主。今年的費爾茲獎，不出人意外，解決龐加萊猜想的俄國數學家佩雷爾曼（Gregory Perelman）果然是四名得主之一，出人意外的是他拒絕接受這個獎項。

龐加萊猜想討論的問題，在數學中屬於拓樸學的領域，是討論所謂的形象幾何的學問。解釋拓樸學所為何事，最常見的例子就是舉咖啡杯和猶太食物焙果（bagel）是同一回事，原因它們都只有一個洞，可以相互轉換。

法國著名的數學家龐加萊，是拓樸學的創建者之一，他將這些抽象的形象幾何空間稱之為為流形（manifold），最簡單的一個二維流形空間就是一個球的表面。龐加萊一九○四年提出的問題是，所有封閉、簡單連結的三維流形，也就是沒有「洞」而且無限延伸的三維流形，就是一個球體。有一句話說，簡單的問題最難回答，龐加萊猜想正是一個例子。

一百多年來，龐加萊猜想一直是數學家圈子中的小眾問題的。這麼多年來，龐加萊猜想的解決，也並非沒有進展，到一九八二年，數學家已經解決了龐加萊猜想在高維次（四維以上）的成立，只剩下三維流形還未得到証明。

二○○○年，美國麻州劍橋的克雷數學研究所，宣佈提出一百萬美金，給解答出包括龐加萊猜想在內世紀七大數學難題的人，龐加萊猜想也才聲聞市井之中。

俄國的數學家佩雷爾曼在二○○二年的解決龐加萊猜想，是數學界的一等大事，對於一些數學家，更是名利雙收的成就，但是佩雷爾曼是一個離群索居的數學怪客，他把解答公佈在網路上之後，雖然也有公開出席演講，但是卻不談論他的解決之道，也一直沒有在數學期刊上發表，甚至不去今年的國際數學家大會接受費爾茲獎頒獎。（請參閱《知識通訊評論》四十二期和四十三期相關專文）
今年八月二十八日出版的《紐約客》雜誌有一篇專文《流形的命運》（Manifold Destiny），極為詳細生動地描述這件事背後的曲折故事，它真實的反映出數學內在的沈靜本質，以及當今數學界的喧擾面貌。

這篇文章形容佩雷爾曼，是一個早慧的數學天才，他一九八二年進入列寧格勒大學時只有十六歲。佩雷爾曼出生於一個俄國猶太家庭，個性沈靜內向，九○年代初期，他在列寧格勒的史泰格洛夫數學研究所，已經是一個幾何學的權威專家。

一九九二年他應邀到紐約大學石溪分校去訪問，出發的那一年秋天俄國的經濟崩潰。他在紐約大學耽了一個學期，後來又在加州大學柏克萊分校訪問兩年。在美國他過著十分簡樸的生活，推拒了普林斯頓、史丹福等多所頂尖大學的聘請。《紐約客》雜誌專文曾經引述佩雷爾曼的話說，「史丹福大學問我要簡歷。如果他們知道我的工作，他們不會要我的簡歷，如果他們問我要簡歷，代表他們不知道我做了什麼工作。」

一九九五年重新回到聖彼得堡的史泰格洛夫數學研究所，接受月薪不到一百美元的工作。據他告訴朋友說，他在美國已經省下夠他在俄國過一輩子的錢。

佩雷爾曼在美國認識了許多著名數學家，包括一九八二年的費爾茲獎得主丘成桐，丘成桐的學生田剛，以及許多其他數學家。其中使他印象最深刻的，是現在美國哥倫比亞大學的數學教授漢彌頓

（Richard Hamilton）。漢彌頓在解決龐加萊猜想的工作上，有一個重要的貢獻，那就是發展出來了所謂的「瑞奇流」（Ricci flow）。

年輕的佩雷爾曼曾經去聽漢彌頓的演講，後來在柏克萊也上漢彌頓的課，和漢彌頓討論數學問題。令佩雷爾曼印象深刻的是漢彌頓的無私和慷慨，因為漢彌頓告訴佩雷爾曼一些研究結果，幾年以後才公開發表。

佩雷爾曼回到俄國之後，自然也對龐加萊猜想發生興趣，於是對這個問題展開研究，二○○二年底，佩雷爾曼將他做的龐加萊猜想的解決証明，放在網路上公布。

數學家的論文查核過程，是先有數學家將其結果公開發表，讓其他數學家來查核証明是否有缺失，如查核無誤，代表這証明過關，一個數學猜想就變成為數學定理。但是一般來說，這些論文會交給有評審的期刊發表，而不是在網路上公布。原因是網路發表比較沒有保障，其他的數學家立即可以更正你証明中的缺失，而宣稱解決了這個問題。佩雷爾曼知道這個風險，他還是決定這麼做。

龐加萊猜想的解決，在數學界一直是一個名利雙收的成就，尤其又加上百萬懸賞，可以說更是火上加油。佩雷爾曼在網路上公布其解決証明，後來果然引起爭逐名利的風波，《紐約客》雜誌專文花了很長的篇幅，來描摹這一方面的問題。

《紐約客》雜誌專文的主要作者拉莎（Sylvia Nasar）曾經是紐約時報的資深財經記者，後來以寫納許（John Nash）的傳記《美麗心靈》（A Beautiful Mind）而成為著名的作家。拉莎是一個十分有經驗的寫手，她用十分委婉但是分寸準確拿捏的文字，成功的將丘成桐描摹成一個充滿權力慾望，玩弄政治，爭奪名利的數學家。文中也談到丘成桐對他學生田剛的批判。（請參見《知識通訊評論》三十二期《丘成桐、田剛紛爭的背後》一文）

毫無疑問的，這篇文章對丘成桐有極大的傷害性。在《知識通訊評論》截稿前，因為一直聯絡不到丘成桐，無法聽到他的意見。

當然《紐約客》雜誌專文主要是彰顯佩雷爾曼退隱無私的罕見特質。文章中曾經說道，佩雷爾曼喜歡在聖彼得堡的馬林斯基劇院欣賞歌劇，他總是坐在劇院遠遠的後方，他說那個位子看不清楚歌唱者
的表情和服裝，但卻是劇院裏音響效果最好的地方。

文章末尾描述拉莎和另一位作者顧伯（David Gruber）六月間一同到聖彼得堡訪問佩雷爾曼的過程。和母親住在聖彼得堡市郊一個小公寓裏的佩雷爾曼，告訴他們國際數學聯盟的主席包爾（John Ball）曾經到聖彼得堡，想說服他去馬德里接受費爾茲獎，佩雷爾曼拒絕了。

邱成桐

佩雷爾曼說，多年以前他曾經為了論文的功勞誰屬，和一位合作者起過爭執，這使他對於學術行業的倫理感到失望。他認為獎項帶來的名利爭逐，已經破壞了他解決數學問題的純粹信念，也逼使他決完全斷絕數學學術生涯。

文章結尾引用另外一位俄國數學家的說法，「要做出偉大的工作，你必須保有一個純淨的思維。你只能想數學，其他的事都是人類的弱點。接受獎項正是顯出一種弱點。」

《紐約客》雜誌的專文，成功描述出看似遠離俗世的數學學術世界，事實上充滿了真實的人性缺失，還是一個俗人的行業。只是這樣一篇成功而真實的文章，總不會是人盡滿意的，這似乎也是俗人世事所難免的。